다이아몬드 격자구조 (Diamond Lattice) 그리는 방법 자세히

다이아몬드 격자구조 (Diamond Lattice)에 대해 자세히 알아보려 한다. 다이아몬드 격자구조 그리는 방법을 처음부터 끝까지 자세히 설명한 후, 충진율을 구하는 것 까지 다뤄보려고 한다.

격자 구조를 알기 위해서는 결정에 대해 알아야한다. 결정에 대해 자세히 배우는 곳은 재료공학과이기 때문에 이 부분은 간단하게만 다루려고 한다. 본 포스팅에서 다이아몬드 격자구조에 포커스를 맞추는 것도 반도체에서 가장 많이 사용하는 material이 실리콘(Si)이고 실리콘이 다이아몬드 crystalline structure를 갖고 있기 때문이다.

모든 결정은 격자와 기저를 이용하여 해석이 가능하다. 결정(crystal) = 격자 (lattice) + 기저 (basis)이기 때문이다. 결정이란 3차원 원자 구조에서 주기적인 반복을 뜻하기 때문에 반복되는 단위를 따로 표현한다. 그것을 단위셀(unit cell)이라고 한다.

결정 구조에는 체심입방 (Body-centered cubic, BCC) 결정구조, 면십입방체(Face-centered cubic, FCC) 결정구조, 육방정계(Hexagonal closed-packed structure, HCP) 결정구조, 다이아몬드 입방결정구조(diamond cubic crystal structure), 섬광아연(Zinc Blende)구조 등이 있다.

다 같은 원자인데, 이해를 돕기 위해 다른 색으로 표현, FCC 구조

그 중, 다이아몬드 단위셀에 대해 알아보자. 다이아몬드의 단위셀은 각 격자점에 2개의 실리콘 원자를 기저(basis)로 가지는 FCC 격자구조이다. Si 원자를 각 격자점에 배치한 후, 또 다른 Si 원자를 입방체의 모서리를 따라 a/4만큼 이동한 후 배치하면 다이아몬드 단위셀이 된다. 이렇게 말로 표현하면 이해하기 어려울 수 있으니 직관적으로 이해할 수 있도록 그림을 첨부하였다.

그림을 그리는 과정은 다음과 같다.

1. unit cell을 그린다.
2. Si atom이 FCC structure에 존재하도록 그린다.
3. unit cell 내부에 4개의 atom이 존재하는데, 2개는 원점 기준으로 해서 대각선 방향으로 z축으로 a/4만큼 위에 존재.
그리고 나머지 2개는 그 대각선 방향의 90도 회전한 방향에서 z축으로 (3a)/4 만큼 위에 존재하도록 그린다.

FCC구조

먼저, FCC 격자 구조를 그린 후, 정확한 위치를 표현하기 위해 가운데에 보조 점선을 그으면 위의 그림과 같다.

z = (3a)/4 위치에 배치 

좌표를 표현할 때 a는 생략하였는데 여기서는 가로, 세로, 높이 모두 1으로 가정하였다.
z축으로 a/4 위치에 먼저 그려도 되고, (3a)/4 위치에 먼저 그려도 되지만 편의상 z= (3a)/4 위치에 먼저 배치했다. z축의 높이는 고정한 채, 우측 하단 방향의 premitive cell 2개를 선택한다. 위의 그림에서는 노란색과 보라색 premitive cell이다. 그리고 그 premitive cell의 정 가운데에 원자를 하나 배치한다.

z = a/4 위치에 배치

z=(3a)/4 위치에 원자를 배치한 후, z=a/4 위치에 원자를 추가로 배치하는 것이지만, 이해를 돕기 위해 위쪽은 지운 후 아래쪽만 따로 그렸다.
z=(3a)/4 위치에서는 우측 하단 방향으로 2개의 premitive cell을 선택했다면 z=a/4 위치에서는 좌측 하단 방향으로 2개의 premitive cell을 선택한 후 그 가운데에 원자를 배치한다. 위의 그림에서는 보라색과 파란색 premitive cell이다.

diamond 격자구조

z=(3a)/4위치에 배치한 것과 z=a/4 위치에 배치한 것을 합치면 위의 그림과 같다. 그리고 그것이 바로 다이아몬드 (diamond) 격자구조가 되는 것이다. 처음 다이아몬드 격자구조 그림을 보면 이해하기 어렵지만, 이렇게 과정을 이해하고 한번 그려본다면 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

정리하자면, 위의 사진과 같다. premitive cell이 z=1/4 높이에 우측 상단 대각선 방향으로 2개 존재하고 z=3/4 높이에 좌측 상단 대각선 방향으로 2개 존재한다. 여기서 premitive cell 바로 옆에는 다른 모양의 cell이므로 다이아몬드 격자 구조는 premitive cell이 3차원적으로 배열하고 있는 것은 아니고, unit cell이 3차원적으로 배열하고 있다고 본다.

premitive cell을 2차원적 구조로 보면 아래 사진과 같다.

하나의 실리콘(Si) atom은 인접한 4개의 Si atom과 똑같은 크기와 각도를 갖고 3차원적으로 공유 결합(tetrahedral bonding)을 하고 있다. 여기서 Si와 Si 사이는 LCAO 법칙(=hybridized)에 의해서 SP3 형태의 운동 궤도를 갖고 있다. LCAO (Linear Combination of Atomic orbitals)이란 s 오비탈과 p 오비탈이 가까이서 운동할 때 한 쪽 방향으로 치우쳐서 운동을 하는 현상을 말한다.

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다음으로는, 다이아몬드 격자구조의 충진율을 구해보자. 원자의 충진율(용적률, Atomic Packing Factor, APF)은 단위셀당 원자의 체적/단위셀 체적 으로 정의한다.

다이아몬드 구조에서 하나의 기저(basis)를 보면 충진율을 쉽게 구할 수 있다. (0,0,0) 위치에 있는 원자와 (a/4,a/4,a/4) 위치에 있는 원자 사이의 거리를 통해 반지름R과 격자 상수 a의 관계를 구할 수 있기 때문이다. 다이아몬드 충진율을 구하는 식은 아래와 같다.

다이아몬드의 충진율 구하는 식

원자 1개의 부피는 구 부피 공식을 통해 구할 수 있다. 또한 원자의 개수 8개는 단위 셀에 들어있는 원자의 개수이다. 다이아몬드 구조는 FCC구조이므로 모서리에 1/8 * 8 + 면에 1/2 *6 = 4개의 원자인데 basis에 2개의 원자가 있으므로 4 *2 = 8개.

 

여기서 다루지는 않지만 비슷한 방식으로 다른 구조의 충진율도 구할 수 있다. simple cubic은 0.52, BCC 구조는 0.68, FCC 구조는 0.74, HCP 구조는 0.74이다.

 

본 포스팅에서 다이아몬드의 격자 구조와 충진율에 대해 알아보았고 다음 포스팅에서는 Si을 어떻게 성장(growth)시키는지 포스팅 할 예정이다.